[선형대수] 6. Column Space and Null Space (열공간과 영공간)

1. Vector Space Requirements

 

이전 글에서 다뤘던 벡터 공간에 대해 계속해서 알아보자.

먼저, 벡터 공간이 되기 위한 조건에 대해 다시 한번 정리해 보면 다음과 같다.

 

임의의 벡터 v, w 와 상수 c, d 에 대하여

① v+w and cv are in the space 

② all combinations cv+dw are in the space

 

 

그 다음은, 부분 공간에 대한 두 가지 질문에 대해 생각해 보자.

다음과 같이 3차원 벡터 공간 R³와 여기에 속한 부분 공간 L과 P가 있다고 하자.

 

 

Q1. P∪L은 부분 공간인가?

 

 

P∪L는 P 또는 L에 속하는 모든 벡터들의 집합이라고 할 수 있다.

그렇다면 이것은 부분 공간이라고 할 수 있을까?

 

 

정답은 '아니오'다.

 

 

그 이유는

P에 속하지만, L에는 속하지 않는 벡터와 반대로 L에 속하지만, P에는 속하지 않는 벡터의

선형결합은 P∪L이라는 공간에 속하지 않을 수 있기 때문이다.

 

 

따라서, 부분 공간의 정의에 따라 P∪L은 부분 공간이 될 수 없다.

 

 

Q2. P∩U은 부분 공간인가?

 

 

P∩U는 P와 L에 모두 속하는 모든 벡터들의 집합이라고 할 수 있다.

그렇다면 이것은 부분 공간이라고 할 수 있을까?

 

 

정답은 '예'다.

 

 

그 이유는, 위 그래프상에서는 집합에 속하는 벡터가 영벡터 [0 0 0]'뿐이기 때문에,

영벡터는 부분 공간에 해당하므로 P∩U는 부분 공간이라고 할 수 있다.

 

 

그렇다면 이를 일반화해서 어떤 부분 공간 S와 T가 있다고 할 때 S∩T가 부분 공간이 됨을 알 수 있을까?

이는 다음과 같이 증명해 보일 수 있다.

 

 

S∩T의 임의의 두 벡터 v, w에 대해 v, w ⊂ S 이고 v, w ⊂ T이다.

이때, S와 T가 부분공간이므로 v, w에 대해 두 벡터를 더한 것과 임의의 상수 배를 한 것 역시 S와 T 모두에 속한다

그리고 그들의 모든 선형결합 역시 S와 T 모두에 속한다

 

 

따라서, S∩T는 위에서 정리했던 벡터 공간의 조건 ①,②를 모두 만족하므로 부분 공간이다.

 

 

정리하면,

부분 공간들의 합집합은 부분 공간이 될 수 없고, 부분 공간들의 교집합은 부분 공간이 될 수 있다.

 

 

 

2. Column Space

 

다음으로, 역시나 이전 글에서 다뤘던 열공간에 대해 더 자세히 알아보자.

 

다음과 같은 행렬 A가 있다고 하자.

 

 

행렬 A로 만들어진 열공간 C(A)는

행렬 A의 열들의 모든 가능한 선형결합으로 이루어져 있기 때문에,

4차원 벡터 공간 R⁴의 부분 공간이 된다. 그렇다면,

 

 

Q1. 행렬 A의 3개의 열로 벡터 공간 R4를 모두 채울 수 있을까?

 

 

답은 No. 3개의 열만으로는 그들로 아무리 선형 결합을 한다 해도 R⁴를 전부 채울 수는 없다. 

그 이유에 대해 알아보기 위해선 다음 질문에 대해 먼저 알아보아야 한다.

 

 

 

Q2. Ax=b는 모든 b에 대해 항상 하나의 해를 가질 수 있을까?

 

 

답은 No. Ax=b는 4개의 방정식과 3개의 미지수로 구성된 선형 연립 일차 방정식이므로,

항상 하나의 해를 가질 수는 없다.

 

 

다음의 예시를 통해 방정식의 개수가 미지수의 개수보다 많을 때

해를 가지는 경우와, 해를 가질 수 없는 '불능'의 경우를 알 수 있다.

 

 

해를 가지는 경우)

 

 

해를 가질 수 없는 '불능'의 경우)

 

 

둘의 차이는 무엇일까?

 

 

바로, Ax=b에서 A의 열들의 선형조합으로 b를 만들어 낼 수 있느냐의 유무다.

b를 만들어 낼 수 있으면 -> 해가 있음 [1 0 1 1]' + [1 1 0 2]' + 2x[0 1 1 0]' = [2 3 3 3]'

b를 만들어 낼 수 없으면 -> 해가 없음

 

 

즉, 원래의 예시로 돌아가

Ax=b에 대해 해 x를 가지기 위해서는 b가 A의 열들의 선형조합으로 나타나야 한다는 것이다. 

이는 곧, b가 행렬 A로 만들어진 열공간 C(A)에 속해야 함을 의미한다.

 

 

해를 갖게 하는 b의 예는 다음과 같다.

[0 0 0 0]' -> b = [0 0 0]'

[1 2 3 4]' -> b = [1 0 0]'

[1 1 1 1]' -> b = [0 1 0]'

 

 

열공간 C(A)의 정의를 생각해 보면 이를 자연스럽게 이해할 수 있을 것이다.

 

 

사실 강의를 들으면서 여기까지 이해는 했지만,

그래서 Q1을 이해하기 위해 Q2가 왜 필요한지 이해하기는 좀 어려웠다.

 

내 생각에는,

행렬 A의 열들의 선형조합으로 만들 수 없는 b가 존재하므로(Ax=b의 해가 없는 경우가 존재하므로)

당연히 A의 열들의 선형조합으로 4차원 벡터공간 R⁴ 전체를 채울 수는 없다고 설명하시려는 것 같았다.

 

 

 

3. Null Space

 

그다음 소개할 공간은 영공간(Null space)이다.

 

영공간 N(A)는 Ax=0의 모든 해로 이루어진 공간을 의미한다.

 

 

따라서, 위 예시에서 N(A)는 3차원 벡터 공간 R³ 안에 속한 직선이 되고

이는 영공간 역시 부분 공간이 됨을 의미한다.

 

 

여기서 헷갈리지 않도록 주의해야 할 점은,

N(A)는 해 x로 이루어진 공간이므로 x의 차원인 벡터 공간의 부분 공간이라는 점이다.

 

 

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공부한 영상 : MIT 18.06 Linear Algebra, Spring 2005 - 6. Column Space and Nullspace

 

소개 : Gilbert Strang 교수님의 MIT 선형대수학 강의(2005)

링크 : https://youtu.be/8o5Cmfpeo6g

 

 

 

MIT 18.06 Linear Algebra, Spring 2005