[선형대수] 3. Multiplication and Inverse Matrices(행렬의 곱셈과 역행렬)

 

1. Matrix Multiplication(행렬의 곱셈)

 

행렬의 곱셈을 이해하는 여러 가지 방법을 소개하면 다음과 같다.

 

 

 

1) regular way

 

첫 번째 방법은 흔히 알고 있는 방법으로, 곱하고자 하는 두 행렬의 행과 열을 내적한 결과를 순서대로 구하는 방법이다.

 

 

 

2) column-way

 

두 번째 방법은 열을 기준으로 생각하는 방법으로, 두 행렬 A, B의 곱의 결과인 행렬 C의 열이 행렬 A의 열의 결합으로 이루어졌다고 보는 방법이다.

 

---> 행렬 A와 행렬 B의 1열의 곱이 행렬 C의 1열이 된다.

 

 

 

3) row-way

 

세 번째 방법은 행을 기준으로 생각하는 방법으로, 행렬 C의 행이 행렬 B의 행의 결합으로 이루어졌다고 보는 방법이다.

 

---> 행렬 A의 1행과 행렬 B의 곱이 행렬 C의 1행이 된다.

 

 

▶ 두 번째 방법과 세 번째 방법을 조금 더 자세하게 이해를 해보자면 다음과 같다.

 

예시로 든 행렬 A와 B로 실제 곱 연산을 해보면 위의 방법들이 어떻게 나타나는지 확인할 수 있다.

 

 

 

4) AB = sum of [ (columns of A) x (rows of B) ]

 

 

네 번째 방법은 가장 기본적인 방법인 1) regular way와 반대로, 행렬 A의 열과 행렬 B의 행을 곱한 후 결과로 나오는 행렬을 모두 더해주는 방법이다.

 

해당 방법에서 특이 사항은, 결과로 나오는 행렬의 모든 행과 열이 각각 같은 직선 위에 놓여 있다는 점이다. 

 

위에 예시 행렬의 경우 모든 행은 [1 6]의 배수로, 열은 [2 3 4]'의 배수로 나타남을 확인할 수 있다.

 

 

 

 

2. Inverse Matices(역행렬)

 

행렬 A의 역행렬 A^-1가 존재한다면, 다음 등식이 만족한다

 

A^-1A = I = A^-1A

 

이때 행렬 A는 nonsingular(invertible) matrix라고 한다.

 

그렇다면, 역행렬이 존재하지 않는 경우는 언제일까?

 

 

1) 행렬 A의 행렬식(determinant)이 0일 때 (여기서 행렬식은 다루지 않음)

2) A x (어떤 행렬) = I 를 만족하는지 확인 ---> '어떤 행렬'이 존재한다면, A는 역행렬이 존재하는 행렬

3) Ax = O 을 만족하는 벡터 x가 존재 ---> 존재한다면, A는 역행렬이 존재하지 않는 행렬 (★)

 

3)에 대한 예시를 들면 다음과 같다.

 

 

위에서 보인 것처럼 Ax = O 을 만족하는 벡터 x가 존재한다면, A의 역행렬이 존재한다고 가정했을 때 벡터 x에 대한 결과가 모순된다.

 

 

 

그럼, 이제 역행렬이 존재하는 경우에 대해 알아보자.

 

 

예시로든 행렬 A는 역행렬이 존재하는 행렬이다. 행렬 A의 역행렬을 찾기 위해, 행렬의 곱셈을 열을 기준으로 이해했던 과정을 이용한다. 

 

그러면, 위와 같이 총 2개의 식(①, ②)을 만족하는 해를 찾는 문제가 된다.

 

 

 

배웠던 소거법을 이용해 행렬 A의 역행렬을 찾을 수 있는데, 상삼각행렬을 만드는 것이 목표였던 것에서 더 나아가 왼쪽의 행렬 A를 단위행렬 I로 만들어 주는 것을 목표로 한다. 해당 방법을 가우스-조던 소거법이라고 한다.

 

 

 

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공부한 영상 : MIT 18.06 Linear Algebra, Spring 2005 - 3. Multiplication and Inverse Matrices

링크 : https://youtu.be/FX4C-JpTFgY

소개 : Gilbert Strang 교수님의 MIT 선형대수학 강의(2005)